É dado o nome de Progressão Aritmética (P.A.) a toda operação matemática em que a sequência de números segue um padrão único que diferencia cada termo. Ou seja, sempre a partir do segundo termo, a diferença entre o número antecessor e posterior será constante em toda a sequência.
Cada número da progressão aritmética é denominado “Termo” da mesma e será representado pelo símbolo”An”, onde “A”é o termo e “n” é a posição em que o termo se encontra na progressão. A diferença constante entre os termos da progressão é denominada de “Razão” e será representa pelo símbolo “R”.
Classificação
As P.A.s podem ser classificadas em três tipos: crescentes, decrescentes e constante.
Quando R for maior que zero, a P.A. será crescente.
Quando R for menor que zero, a P.A. será decrescente.
Quando R for igual a zero, a P.A. será constante.
Exercício:
1) Classifique as progressões abaixo em crescente, decrescente ou constante:
a) (1, 4, 7, 10) =
b) (-10, -8, -6, -4) =
c) (2, 2, 2, 2) =
Fórmula do Termo de P.A.
Para encontrar qualquer termo de uma progressão, existe uma fórmula que simplifica toda a operação, bastando substituir os símbolos pelos respetivos resultados e resolve-la.
Fórmula do Termo Geral: An = a1+ (n – 1)R onde An é o termo que se deseja encontrar, R é a razão, o segundo n é a posição do termo que se deseja encontrar e a1 é o primeiro termo na progressão.
Exercício:
2) Encontre o vigésimo quinto termo da progressão (10, 15, 20, 25, 30…).
Interpolação Aritmética
Basicamente, essa fórmula se resume a encontrar a razão de uma progressão cujo dados só temos os extremos.
R = An – a1/(n – 1)
Exercício:
3) Determine a razão de um P.A. de 10 termos, cujo primeiro termo seja 12 e o último seja 30.
Soma dos termos de uma P.A.
Para determinar a soma de todos os termos de uma P.A. sem precisar soma-los um a um, existe a fórmula da soma dos termos.
Sn = (a1 + An)n/2
Exercício:
4) Determine a soma da P.A. se cinco termos (10, 12… 18).
Respostas:
1) a) crescente b) crescente c) constante.
2) An = a1+ (n – 1)R
A25 = 10 + (25 – 1)5
A25 = 10 + 120
A25 = 130
3) R = An – a1/(n – 1)
R = 30 – 12/10 – 1
R = 18/9
R = 2
4) Sn = (a1 + An)n/2
Sn = (10 + 18)5/2
Sn = 140/2
Sn= 70