Aprenda como foi desenvolvida a fórmula de Bhaskara

Bhaskara Acharya, conhecido também como B. o Instruído, foi um matemático indiano que viveu aproximadamente entre os anos de 1.114 e 1.185. Ele também foi professor, astrólogo e astrônomo. É considerado o maior matemático do século XII da Índia.

Nascido em uma família tradicionalmente inserida na astrologia, ele seguiu o caminho de seus antecedentes se utilizando de orientações baseadas em aspectos científicos, voltando-se de tal forma a questões relativas à matemática e astronomia como, por exemplo, calculando a relação entre os dias e horas que ocorriam eclipses e posições dos planetas.

Dicas escolares
Fórmula de Bhaskara

Seu livro mais famoso é o Lilavati, o qual leva o nome de uma de suas filhas. Tal livro é bastante elementar e se destina a trabalhar problemas inteligíveis da aritmética, geometria plana e combinatória.

Se engana quem pensa que foi ele quem descobriu a fórmula de Bhaskara, ao contrário, ele nem sabia o que era uma fórmula, pois elas surgiram apenas 400 depois de sua morte, assim se torna impossível que ele tenha descoberto algum fórmula.

Naquela época as equações eram resolvidas por meio do uso de regras. As regras são uma descrição por extenso da metologia utilizada para resolução de um problema, como é o caso das equações. Um fato bastante interessante, é que no tempo de Bhaskara essas fórmulas costumavam ter forma de poesias, que descreviam os procedimentos operacionais para resolver o problema.

Para a resolução de equações quadráticas, como no caso da forma ax² + bx = c, os indianos costumam predizer tal regra:

Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso.

Bhaskara conhecia tal regra, mas não foi ele quem a inventou, há relatos de que ela tenha surgido há um século antes dele. Assim, quanto as equações determinadas de segundo grau ele apenas faz no Lilavati uma cópia do que outros matemáticos já afirmaram anteriormente.

No entanto, em outro escrito seu, o Bijaganita, ele faz grandes contribuições às equações indeterminadas de segundo grau, uma vez que inventou o método interativo chamada chakravala e aprimorou o método kuttaka, o qual é o ápice de toda a matemática indiana.

Assim, o nome “Fórmula de Bhaskara” foi somente uma homenagem ao grande matemático que Bhaskara Akaria foi, não tendo nenhum vínculo maior do que isso. Tal fórmula foi desenvolvida de modo a resolver equações quadráticas e é dada por: Δ = b2-4ac.

Raiz de número negativo, existe?

Raiz de número negativo

Por um tempão, vários matemáticos dedicaram suas vidas a descobrir a possibilidade de retirar raiz de números negativos. Alguns afirmavam que seria impossível tal feito, enquanto outros continuavam a tentar. Isso porque, em vista, é impossível retirar raiz de um número negativo.

Isso porque em números reais essa possibilidade se torna inexistente, pois os números que estão negativos, quando elevados ao quadrado, se tornam positivos. Em cálculos comuns, a raiz é extraída de um número inteiro quando ele é multiplicado por ele mesmo, ou seja:

√16 = 4

(raiz quadrada de 16 é igual a 4)

Sabemos isso, devido a multiplicação do número 4 vezes ele mesmo, ter resultado igual a 16.

Agora supomos que o número que aparece inteiro aqui, estivesse em estado negativo, ou seja:

√-16 = -4 x -4 = +16

Isso porque se calcularmos -4 x -4 o resultado seria: + 16

Ou seja, coerente com a matemática, os sinais de (-) x (-) é igual a +. Número que era negativo, se tornou positivo.

Tudo bem até aqui, mas essa não foi uma resposta válida para os matemáticos que continuaram suas pesquisas envolta do assunto. O que aconteceu então, foi a utilização de um número imaginário a √-1 que ficou simbolizado com a letra icom isso seria possível fazer o cálculo de números negativos devido ao número imaginário.

Entenda como ocorre o cálculo.
Raiz quadrada negativa

Agora para resolver uma raiz de número negativo, teremos o seguinte processo:

√-16 = √-1 x 16 =

√-1 x √-16 =

4i 

Ou seja:

√-1 = i

√16 = 4

Após tudo isso, foi possível resolver algumas equações de 2° grau. As equações foram sendo resolvidas baseadas exclusivamente em um novo conjunto numérico que surgia consequentemente de números complexos. Os números são basicamente constituídos em duas partes, sendo uma real e outra imaginária.

Aprenda como calcular porcentagem na calculadora

Tirar resultado de porcentagem da calculadora comum

Tirar resultado de porcentagem de uma calculadora é uma tarefa simples. Você só precisa saber exatamente qual a conta correta a fazer e quais números calcular. O aprendizado é bem prático, qualquer pessoa consegue tirar número em porcentagens de calculadores convencionais.

  1. Supomos que você esteja interessado em saber a quantia exata de 80% de um valor referente a 800.
  2. Para calcular é simples, basta digitar o número 80 na calculadora.
  3. Depois digite o sinal de multiplicação, simbolizado pela letra X.
  4. Logo após, basta digitar os números 800 e apertar o sinal %.
  5. O resultado aparecerá na tela em imediato.
  6. Na conta que fizemos o resultado é 640.
  7. Ou seja, se eu tenho 800,00, 80% desse valor é 640,00.
Simbolo na calculadora que ajuda a calcular porcentagem.
Porcentagem (Foto: Reprodução)

O procedimento é simples e fácil, qualquer calculadora permite que essa operação seja feita. Contudo, em calculadoras científicas a coisa muda um pouco, mas nada absurdo ou impossível de ser realizado. Explicaremos a seguir como tirar porcentagem em calculadoras científicas.

Calculadora científica

  1. Digite 80.
  2. Aperte X que simboliza a multiplicação.
  3. Logo após, digite os números 800 e a tecla denominada 2ndF (shift).
  4. Depois disso é só pressionar o sinal de %.
  5. Aperte por fim o sinal que simboliza igualdade/resultado =.
  6. E terá o número 640.

Para números possuindo vírgulas, como 5,5/5,8/5,3 o processo para retirar o resultado é o mesmo, basta seguir os procedimentos em qualquer tipo de calculadora. Indicamos que procure refazer ao menos duas vezes o processo para ter certeza do resultado. Se possível faça em mais de uma calculadora.

Decompor em fatores primos

Decomposição em fatores primos

A decomposição pode ser feita em qualquer número maior que 1. Esse pode ser decomposto facilmente em produtos de dois ou mais fatores. É necessário que durante a decomposição todos sejam feitos em fatores primos, eles são mais utilizados na soma ou subtração de uma fração.

Em alguns casos, é necessário que você encontre o máximo divisor e a partir de então consiga um conjunto de números para conseguir a decomposição dos mesmos em fatores primos. Há também alguns sites na internet que disponibilizam uma calculadora para a decomposição rápida.

Como fazer?

Antes de mais nada, é necessária uma linha vertical para que seja feita a decomposição. Vamos utilizar o número 45 como exemplo. É preciso que você procure um número que possa dividir em partes iguais, dando um resultado satisfatório, como o número 3.

Antes de continuar o processo, indicaremos quais os números primos mais utilizados:

» 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29… 

O número que encontramos para 45, no caso é o 3. Onde 45 é divido pelo 3, que resulta em 15, dando continuidade a equação. O quociente ( o número 3) é colocado do lado esquerdo da linha vertical que acabamos de indicar. Como sabemos, o resultado da divisão 15, encaixado logo abaixo o número 45.

Veja:

decompor 1

Esse processo acontece até que o quociente seja igual a 1. Ou seja, quando chegar nesse resultado, não necessitará de nenhum acréscimo ou divisão, considerando que somente os números maiores que 1, podem ser divididos e utilizados nessa mesma equação.

Veja:

decompor 2

O mais importante é que você descubra o quociente correto para decompor seu número. Procure sempre fazê-lo em números próximos que lhe darão um resultado satisfatório e inteiro. Ele deverá se dividir inteiramente até que seu resultado final seja 1, onde não há mais possibilidades de decomposição.

Progressão Aritmética passo a passo: Estudos, Fórmula e Exercícios

É dado o nome de Progressão Aritmética (P.A.) a toda operação matemática em que a sequência de números segue um padrão único que diferencia cada termo. Ou seja, sempre a partir do segundo termo, a diferença entre o número antecessor e posterior será constante em toda a sequência.

Cada número da progressão aritmética é denominado “Termo” da mesma e será representado pelo símbolo”An”, onde “A”é o termo e “n” é a posição em que o termo se encontra na progressão. A diferença constante entre os termos da progressão é denominada de “Razão” e será representa pelo símbolo “R”.

Classificação

As P.A.s podem ser classificadas em três tipos: crescentes, decrescentes e constante.

Quando R for maior que zero, a P.A. será crescente.

Quando R for menor que zero, a P.A. será decrescente.

Quando R for igual a zero, a P.A. será constante.

Exercício:

1) Classifique as progressões abaixo em crescente, decrescente ou constante:

a) (1, 4, 7, 10) =

b) (-10, -8, -6, -4) =

c) (2, 2, 2, 2) =

Fórmula do Termo de P.A.

Para encontrar qualquer termo de uma progressão, existe uma fórmula que simplifica toda a operação, bastando substituir os símbolos pelos respetivos resultados e resolve-la.

Fórmula do Termo Geral: An = a1+ (n – 1)R onde An é o termo que se deseja encontrar, R é a razão, o segundo n é a posição do termo que se deseja encontrar e a1 é o primeiro termo na progressão.

Exercício:

2) Encontre o vigésimo quinto termo da progressão (10, 15, 20, 25, 30…).

Interpolação Aritmética

Basicamente, essa fórmula se resume a encontrar a razão de uma progressão cujo dados só temos os extremos.

R = An – a1/(n – 1)

Exercício:

3) Determine a razão de um P.A. de 10 termos, cujo primeiro termo seja 12 e o último seja 30.

Soma dos termos de uma P.A.

Para determinar a soma de todos os termos de uma P.A. sem precisar soma-los um a um, existe a fórmula da soma dos termos.

Sn = (a1 + An)n/2

Exercício:

4) Determine a soma da P.A. se cinco termos (10, 12… 18).

Respostas:

1) a) crescente b) crescente c) constante.

2) An = a1+ (n – 1)R

A25 = 10 + (25 – 1)5

A25 = 10 + 120

A25 = 130

3) R = An – a1/(n – 1)

R = 30 – 12/10 – 1

R = 18/9

R = 2

4) Sn = (a1 + An)n/2

Sn = (10 + 18)5/2

Sn = 140/2

Sn= 70