Aprenda como foi desenvolvida a fórmula de Bhaskara

A Fórmula de Bhaskara é uma das principais utilizadas hoje em dia para resolução de equações quadráticas, confira neste artigo como essa fórmula foi desenvolvida ao longo dos séculos.

Bhaskara Acharya, conhecido também como B. o Instruído, foi um matemático indiano que viveu aproximadamente entre os anos de 1.114 e 1.185. Ele também foi professor, astrólogo e astrônomo. É considerado o maior matemático do século XII da Índia.

Nascido em uma família tradicionalmente inserida na astrologia, ele seguiu o caminho de seus antecedentes se utilizando de orientações baseadas em aspectos científicos, voltando-se de tal forma a questões relativas à matemática e astronomia como, por exemplo, calculando a relação entre os dias e horas que ocorriam eclipses e posições dos planetas.

Dicas escolares
Fórmula de Bhaskara

Seu livro mais famoso é o Lilavati, o qual leva o nome de uma de suas filhas. Tal livro é bastante elementar e se destina a trabalhar problemas inteligíveis da aritmética, geometria plana e combinatória.

Se engana quem pensa que foi ele quem descobriu a fórmula de Bhaskara, ao contrário, ele nem sabia o que era uma fórmula, pois elas surgiram apenas 400 depois de sua morte, assim se torna impossível que ele tenha descoberto algum fórmula.

Naquela época as equações eram resolvidas por meio do uso de regras. As regras são uma descrição por extenso da metologia utilizada para resolução de um problema, como é o caso das equações. Um fato bastante interessante, é que no tempo de Bhaskara essas fórmulas costumavam ter forma de poesias, que descreviam os procedimentos operacionais para resolver o problema.

Para a resolução de equações quadráticas, como no caso da forma ax² + bx = c, os indianos costumam predizer tal regra:

Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso.

Bhaskara conhecia tal regra, mas não foi ele quem a inventou, há relatos de que ela tenha surgido há um século antes dele. Assim, quanto as equações determinadas de segundo grau ele apenas faz no Lilavati uma cópia do que outros matemáticos já afirmaram anteriormente.

No entanto, em outro escrito seu, o Bijaganita, ele faz grandes contribuições às equações indeterminadas de segundo grau, uma vez que inventou o método interativo chamada chakravala e aprimorou o método kuttaka, o qual é o ápice de toda a matemática indiana.

Assim, o nome “Fórmula de Bhaskara” foi somente uma homenagem ao grande matemático que Bhaskara Akaria foi, não tendo nenhum vínculo maior do que isso. Tal fórmula foi desenvolvida de modo a resolver equações quadráticas e é dada por: Δ = b2-4ac.

Raiz de número negativo, existe?

A raiz quadrada de um número negativo ainda é uma incógnita para muitos estudantes. Se você faz parte dessa maioria e ainda não descobriu como calcular esses mesmos números, veja como Dicas Free explica para você!

Raiz de número negativo

Por um tempão, vários matemáticos dedicaram suas vidas a descobrir a possibilidade de retirar raiz de números negativos. Alguns afirmavam que seria impossível tal feito, enquanto outros continuavam a tentar. Isso porque, em vista, é impossível retirar raiz de um número negativo.

Isso porque em números reais essa possibilidade se torna inexistente, pois os números que estão negativos, quando elevados ao quadrado, se tornam positivos. Em cálculos comuns, a raiz é extraída de um número inteiro quando ele é multiplicado por ele mesmo, ou seja:

√16 = 4

(raiz quadrada de 16 é igual a 4)

Sabemos isso, devido a multiplicação do número 4 vezes ele mesmo, ter resultado igual a 16.

Agora supomos que o número que aparece inteiro aqui, estivesse em estado negativo, ou seja:

√-16 = -4 x -4 = +16

Isso porque se calcularmos -4 x -4 o resultado seria: + 16

Ou seja, coerente com a matemática, os sinais de (-) x (-) é igual a +. Número que era negativo, se tornou positivo.

Tudo bem até aqui, mas essa não foi uma resposta válida para os matemáticos que continuaram suas pesquisas envolta do assunto. O que aconteceu então, foi a utilização de um número imaginário a √-1 que ficou simbolizado com a letra icom isso seria possível fazer o cálculo de números negativos devido ao número imaginário.

Entenda como ocorre o cálculo.
Raiz quadrada negativa

Agora para resolver uma raiz de número negativo, teremos o seguinte processo:

√-16 = √-1 x 16 =

√-1 x √-16 =

4i 

Ou seja:

√-1 = i

√16 = 4

Após tudo isso, foi possível resolver algumas equações de 2° grau. As equações foram sendo resolvidas baseadas exclusivamente em um novo conjunto numérico que surgia consequentemente de números complexos. Os números são basicamente constituídos em duas partes, sendo uma real e outra imaginária.

Aprenda como calcular porcentagem na calculadora

Aprenda, através deste artigo, calcular uma porcentagem em calculadoras comuns e científicas. Acompanhe e descubra passo a passo dessa operação.

Tirar resultado de porcentagem da calculadora comum

Tirar resultado de porcentagem de uma calculadora é uma tarefa simples. Você só precisa saber exatamente qual a conta correta a fazer e quais números calcular. O aprendizado é bem prático, qualquer pessoa consegue tirar número em porcentagens de calculadores convencionais.

  1. Supomos que você esteja interessado em saber a quantia exata de 80% de um valor referente a 800.
  2. Para calcular é simples, basta digitar o número 80 na calculadora.
  3. Depois digite o sinal de multiplicação, simbolizado pela letra X.
  4. Logo após, basta digitar os números 800 e apertar o sinal %.
  5. O resultado aparecerá na tela em imediato.
  6. Na conta que fizemos o resultado é 640.
  7. Ou seja, se eu tenho 800,00, 80% desse valor é 640,00.
Simbolo na calculadora que ajuda a calcular porcentagem.
Porcentagem (Foto: Reprodução)

O procedimento é simples e fácil, qualquer calculadora permite que essa operação seja feita. Contudo, em calculadoras científicas a coisa muda um pouco, mas nada absurdo ou impossível de ser realizado. Explicaremos a seguir como tirar porcentagem em calculadoras científicas.

Calculadora científica

  1. Digite 80.
  2. Aperte X que simboliza a multiplicação.
  3. Logo após, digite os números 800 e a tecla denominada 2ndF (shift).
  4. Depois disso é só pressionar o sinal de %.
  5. Aperte por fim o sinal que simboliza igualdade/resultado =.
  6. E terá o número 640.

Para números possuindo vírgulas, como 5,5/5,8/5,3 o processo para retirar o resultado é o mesmo, basta seguir os procedimentos em qualquer tipo de calculadora. Indicamos que procure refazer ao menos duas vezes o processo para ter certeza do resultado. Se possível faça em mais de uma calculadora.

Decompor em fatores primos

Para decompor um número é necessário que você tome alguns cuidados. Para mais informações sobre o procedimento matemático, confira neste artigo.

Decomposição em fatores primos

A decomposição pode ser feita em qualquer número maior que 1. Esse pode ser decomposto facilmente em produtos de dois ou mais fatores. É necessário que durante a decomposição todos sejam feitos em fatores primos, eles são mais utilizados na soma ou subtração de uma fração.

Em alguns casos, é necessário que você encontre o máximo divisor e a partir de então consiga um conjunto de números para conseguir a decomposição dos mesmos em fatores primos. Há também alguns sites na internet que disponibilizam uma calculadora para a decomposição rápida.

Como fazer?

Antes de mais nada, é necessária uma linha vertical para que seja feita a decomposição. Vamos utilizar o número 45 como exemplo. É preciso que você procure um número que possa dividir em partes iguais, dando um resultado satisfatório, como o número 3.

Antes de continuar o processo, indicaremos quais os números primos mais utilizados:

» 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29… 

O número que encontramos para 45, no caso é o 3. Onde 45 é divido pelo 3, que resulta em 15, dando continuidade a equação. O quociente ( o número 3) é colocado do lado esquerdo da linha vertical que acabamos de indicar. Como sabemos, o resultado da divisão 15, encaixado logo abaixo o número 45.

Veja:

decompor 1

Esse processo acontece até que o quociente seja igual a 1. Ou seja, quando chegar nesse resultado, não necessitará de nenhum acréscimo ou divisão, considerando que somente os números maiores que 1, podem ser divididos e utilizados nessa mesma equação.

Veja:

decompor 2

O mais importante é que você descubra o quociente correto para decompor seu número. Procure sempre fazê-lo em números próximos que lhe darão um resultado satisfatório e inteiro. Ele deverá se dividir inteiramente até que seu resultado final seja 1, onde não há mais possibilidades de decomposição.

Progressão Aritmética passo a passo: Estudos, Fórmula e Exercícios

Um dos assuntos com relação a matemáticas que com certeza tem presença garantida em concursos e vestibulares é Progressão Aritmética. Saiba como resolver uma P.A.

É dado o nome de Progressão Aritmética (P.A.) a toda operação matemática em que a sequência de números segue um padrão único que diferencia cada termo. Ou seja, sempre a partir do segundo termo, a diferença entre o número antecessor e posterior será constante em toda a sequência.

Cada número da progressão aritmética é denominado “Termo” da mesma e será representado pelo símbolo”An”, onde “A”é o termo e “n” é a posição em que o termo se encontra na progressão. A diferença constante entre os termos da progressão é denominada de “Razão” e será representa pelo símbolo “R”.

Classificação

As P.A.s podem ser classificadas em três tipos: crescentes, decrescentes e constante.

Quando R for maior que zero, a P.A. será crescente.

Quando R for menor que zero, a P.A. será decrescente.

Quando R for igual a zero, a P.A. será constante.

Exercício:

1) Classifique as progressões abaixo em crescente, decrescente ou constante:

a) (1, 4, 7, 10) =

b) (-10, -8, -6, -4) =

c) (2, 2, 2, 2) =

Fórmula do Termo de P.A.

Para encontrar qualquer termo de uma progressão, existe uma fórmula que simplifica toda a operação, bastando substituir os símbolos pelos respetivos resultados e resolve-la.

Fórmula do Termo Geral: An = a1+ (n – 1)R onde An é o termo que se deseja encontrar, R é a razão, o segundo n é a posição do termo que se deseja encontrar e a1 é o primeiro termo na progressão.

Exercício:

2) Encontre o vigésimo quinto termo da progressão (10, 15, 20, 25, 30…).

Interpolação Aritmética

Basicamente, essa fórmula se resume a encontrar a razão de uma progressão cujo dados só temos os extremos.

R = An – a1/(n – 1)

Exercício:

3) Determine a razão de um P.A. de 10 termos, cujo primeiro termo seja 12 e o último seja 30.

Soma dos termos de uma P.A.

Para determinar a soma de todos os termos de uma P.A. sem precisar soma-los um a um, existe a fórmula da soma dos termos.

Sn = (a1 + An)n/2

Exercício:

4) Determine a soma da P.A. se cinco termos (10, 12… 18).

Respostas:

1) a) crescente b) crescente c) constante.

2) An = a1+ (n – 1)R

A25 = 10 + (25 – 1)5

A25 = 10 + 120

A25 = 130

3) R = An – a1/(n – 1)

R = 30 – 12/10 – 1

R = 18/9

R = 2

4) Sn = (a1 + An)n/2

Sn = (10 + 18)5/2

Sn = 140/2

Sn= 70

Como gostar de estudar matematica

Veja o segredo para aprender matemática. A matemática pode ser vista com certa dificuldade pelos alunos devido aos métodos antigos de ensino e possíveis traumas de aprendizado.

Ábaco
Ábaco: A primeira “calculadora” inventada pelo homem.

A matética talvez seja a matéria mais odiada entre os alunos do ensino médio e fundamental. Por uma matéria estritamente relacionada a cálculos e inúmeros exercícios, os alunos acabam se abstendo de gostar e praticar corretamente tal disciplina.

Os métodos para ensinar a matemática também não são muito convidativos. Apenas passar as fórmulas e centenas de exercícios não despertará o interesse em todos os alunos, principalmente os que tendem a área das ciências humanas.

Para que o aluno goste e se interesse pelos assuntos matemáticos, o professor é de fundamental importância. Manter-se atualizado com os novos métodos e novas ferramentas de ensino pode ser um ótimo aliado para uma aula diferente, dinâmica e com maior aprendizado.

Uma das dicas é aliar o conhecimento matemático a história. Todo conhecimento matemático tem sua ligação a algum contexto histórico, com uma série de curiosidades e sua serventia. A explicação dessas áreas e promoção de atividades que buscam, por meio dos cálculos matemáticos, reconstruir as coisas da antiguidade podem muito bem despertar o interesse de grande parte dos alunos.

Usar a tecnologia a seu favor também pode ajudar a a tornar tudo mais interessante e agradável. Utilizar gráficos animados, datashow, jogos e outros recursos para demonstrar e aplicar os cálculos matemáticos já se revelou ser um método eficiente de aprendizado.

Se você já passou da época do ensino médio e ainda sim precisa de estudar matemática, procure informar-se mais sobre cada assunto, seu contexto histórico e sua utilidade. Ao fazer os cálculos, imagine a utilização real daquilo na prática e como era usado a muito tempo. Assista a vídeo aulas disponíveis na internet e busque preferencialmente exercícios com resolução para que você não se perca e se frustre com eventuais erros.

Olimpíadas de matemática 2013

A Olimpíada de Matemática serve para promover as disciplinas, o ensino e também dá a chance para que os alunos demonstrem seu talento diante os estudos. Veja seus detalhes e datas

Com a parceria da Sociedade Brasileira de Matemática, juntamente com o Instituto Nacional De Matemática Pura E Aplicada(IMPA), foi criado e implantado a Olimpíada Brasileira de Matemática, uma competição direcionada para os alunos que estão no Ensino Fundamental (a partir do 6ª ano), Ensino Médio e Universitário de todas as escolas públicas e privadas do país.

A competição é um projeto muito bem elaborado que tem como objetivo, aplicar os testes como forma de veicular a melhoria do ensino de Matemática no Brasil, colaborando para a incentivação e descoberta de novos talentos, particularmente na área de Ciências. Os estudantes também participam de competições internacionais, coordenadas pelo SBM, tais como as olimpíadas – Romanian Master in Mathematics, Olimpíada Iberoamericana de Matemática e Asian Pacific Mathematics Olympiad (APMO).

Logomarca OBM
O cadastro para ser participante da Olimpíada, pode ser feito através do site www.obm.org.br, onde há campos de preenchimento, que inclusive, precisam ser atualizados a cada ano.

Realizada anualmente a OBM possui quatro níveis de disputa, que é estabelecida baseando-se na escolaridade de cada estudante.

  • Nível 1 – estudantes matriculados na 6° ou 7° ano do E.F.
  • Nível 2 – estudantes matriculados ou que tenham concluído a 8° ou 9° ano do E.F.
  • Nível 3 – estudantes matriculados em qualquer série do ensino médio .
  • Nível Universitário – estudantes universitários em nível de graduação, para qualquer curso.

São 3 fases para aplicação das provas do níveis fundamental e médio e 2 fases para o nível universitário.

A primeira edição da Olimpíada Brasileira de Matemática aconteceu em 1979, mas desde então sofreu diversas alterações até chegar ao formato atual. Em 2013 a competição completará seu 34 anos de existência. O cadastro é feito pela coordenação da instituição de ensino, normalmente acontece em datas previstas para os meses de março e abril, via internet.

A premiação é feita em uma cerimônia com a entrega de medalhas de ouro, medalhas de prata e medalhas de bronze, também são oferecidas Menções Honrosas. Além disso a Comissão Nacional de Olimpíadas de Matemática, patrocina os estudantes ganhadores em sua viagem para a premiação, desde alimentação, hospedagem e no caso de medalha de ouro, o translado também é ganho.

PROBLEMAS DE MATEMÁTICA

Neste artigo PROBLEMAS DE MATEMÁTICA tem exemplos de problema de matemática que são usados no ensino fundamental.

Quando falamos de problemas de matemática temos que falar da forma que estamos falando, pois a frase mal formulada pode ser mal interpretada no caso, Ana tem problemas de matemática para resolver. Esta se referindo a cálculos, e se for falado Os problemas de matemática de Ana são graves. Esta falando que os problemas que ela tem com a matéria é grave.

Começar uma explicação de matemática com português é algo que pode parecer incomum porém quando falamos de problemas de matemática é um fato que envolve as duas matérias, no ensino fundamental os problemas de matemática são uma junção de interpretação de texto com cálculos.
Exemplo.

Maria ganhou de sua mãe trinta balas, deu 5 para seu irmão e 6 para sua irmã. Quantas balinhas Maria ficou?

Resposta.
30- 5= 25
25-6=19
Maria ficou com 19 balinhas

Na escola de Ana a merendeira pediu que levassem frutas para a salada de fruta, Ana recebeu de sua tia 18 laranjas e ganhou de sua mãe 15 maçãs, o pai de Ana deu para ela um caxo de banana com 21 bananas. Quantas frutas ao todo Ana levou para escola?

Resposta.
18+15=33
33+21=54
Ana levou para escola 54 frutas.

Na escola de Maria tem 9 salas de aula e em cada uma tem 42 alunos no turno da manhã, no turno da tarde tem 29 alunos em cada sala, a noite são 40 alunos em cada sala. Quantos alunos tem em cada turno e em todos os turnos?

Resposta.
9 x 42= 378
9 x 29= 261
9 x 40= 360

378+261= 639
639+360= 999

No turno da manhã tem 378 alunos, no turno da tarde tem 261 alunos, no turno da noite tem 360 alunos, em todos os três turnos tem 999 alunos.

Na empresa de Carlos chegou para os funcionários 780 lápis em toda empresa tem 20 funcionários. Quantos lápis cada funcionário recebeu?

Resposta.
780/ 20= 39

Cada funcionário recebeu 39 lápis.

Os problemas de matemática são usados no ensino fundamental para que possa ser ensinada as crianças como fazer as quatro operações matemáticas, que serão usadas na sua vida acadêmica e na vida pessoal.

Matemática 4 operações básicas e exercícios: Somar, Subtrair, Dividir e Multiplicar

Confira nesse artigo os princípios básicos das 4 operações matemáticas, passo a passo de como fazer esses cálculos com explicação e exemplos e uma tabela muito importante sobre a regra de sinais.

As 4 operações básicas da matemática são essenciais para realizar qualquer cálculo imposto por uma questão, sendo ela relacionada a qualquer assunto. As regras desses sinais é o que faz dizer que algo pode estar certo ou errado em âmbito matemático.

Antes de mais nada é importante que a regra abaixo seja gravada, pois ela é essencial para realizar todos os tipos de contas.

Regra de sinais

+ com + = +

– com – = +

+ com – =

– com + =

Adição

A adição é o ponto de partida em aprendizagem dos cálculos. Ela soma tudo o que está separado e que queremos juntar. Esse processo pode ser dado por forma positiva e negativa. Veja abaixo:

* Exemplo 1

12+5+2=17

Como todos os sinais são positivos, a soma pode ser realizada de todas as maneiras, trocando os números de ordem, que o resultado sempre dará o mesmo.

* Exemplo 2

– 10+(-3)= -13

O -3 é colocado entre parenteses para que o sinal de adição e subtração não fique juntos. Para fazer esse cálculo, basta apenas observar a regra de sinais. No caso o cálculo acima pode ser representado também (analisando pela regra dos sinais) como:

-10-3=13

 

Subtração

A subtração corresponde a contas ou situações nas quais desejamos retirar uma quantidade de outra para visualizar o que irá sobrar.

* Exemplo 1

90-40=50

Na subtração, se fizermos a inversão dos números que permanecem antes do sinal de igualdade ou diminuir um número maior por outro maior, o resultado final iŕa possuir um valor negativo. Veja:

40-90=50

 

Multiplicação

A multiplicação irá corresponder sempre a soma de parcelas iguais de qualquer número.

* Exemplo 1

5*5*5*5*5*5=30 ou 5*6=30 ou 6*5=30

A ordem dos números (ou fatores) nunca irá alterar o resultado da questão.

Todas as vezes em que surgir uma multiplicação em uma conta que possua somatórias ou subtrações, ela deverá ser realizada primeiro.

* Exemplo 2

2*(2+3+4)=(2*9)=18 ou

2*(2+3+4)=(2*2)+(2*3)+(2*4)=4+6+8=18

Sempre que um número multiplicar uma soma, ele irá multiplicar portanto cada parcela.

 

Divisão

Esse processo se dá quando desejamos dividir um total de produtos em partes iguais ou quando desejamos saber quantas vezes um número cabe dentro de outro.

* Exemplo 1

12/3=4

As divisões podem conter números exatos ou não. O resto do cálculo nesses casos, sempre deverá ser positivo e menor que o divisor. Caso isso não ocorra, a divisão não existe ou foi calculada de forma errada.

Exercícios resolvidos com as principais 4 operações matemáticas

1° (Adição)

a) 2+2=4

b) 5+1=6

c) 125+43=168

d) -2+(-5)=-7

e) -30+(-59)=-89

 

2° (Subtração)

a) 10-2=8

b) 4-3=1

c) 7-4=3

d) 100-103=-3

e) 24-30=-6

 

3° (Multiplicação)

a) 5*5=25

b) 10*2=20

c) 65*100=6.500

d) 2*(5+3)=16

e) 3*(7+2)=27

 

4° (Divisão)

a) 10/2=5

b) 100/25=4

c) 6/2=3

d) 36/6=6

e) 20/8=2,5